Sobre la naturaleza última de la realidad

Desde sus inicios tribales los seres humanos han acumulado sistemáticamente conocimiento y buscado maneras de descifrar y controlar las fuerzas de la naturaleza, por lo que en principio no hay un punto de partida único para reseñar la historia de su aproximación a la realidad, pero resulta conveniente tomar a los Antiguos Griegos como inicio, porque ellos en particular dejaron fuentes escritas.

El pensador Tales de Mileto es de quien se tiene el registro escrito más antiguo de ciertas ideas filosóficas. Puesto que no todos los pensadores de la Antigua Grecia creían en la importancia de escribir y gran parte del conocimiento del Mundo Antiguo se perdió con la caída de Roma y la quema de la Biblioteca de Alejadría, no es posible constatar si fue literalmente el primero en hacer filosofía propiamente dicha, pero Tales es el primer individuo sobre el que se sabe que demostró un teorema matemático (hoy llamado el "teorema de Tales") y uno de los primeros en valorar la razón, la lógica y la observación como herramientas para descifrar la naturaleza. Sin embargo, para entender mejor el impacto de estas ideas, ayuda visualizar el contexto en el que fueron propuestas.

Antes de que la curiosidad por la naturaleza en la Antigua Grecia escalase hasta convertirse en lo que luego llamarían "filosofía natural", no existía tal cosa como apoyo a las artes y ciencias por parte del público ni un sistema educativo formal. Sin embargo los filósofos presocráticos se interesaron en temas como la separación entre lo abstracto y lo material, identificar la unidad más pequeña posible de materia, la inferencia de fuerzas invisibles en temas humanos, etc. A estas alturas ya podían apreciarse primeros intentos de separar el mito de la verdad (o la superstición de los hechos, como diríamos hoy).

Con el tiempo se formaron escuelas de pensamiento, no obstante éstas no eran lugares físicos como quizá lo serían hoy en día, sino grupos de personas que se reunían a pensar en los mismos temas y a veces viajaban para hacer lo mismo en otros lados. La escuela milesia, fundada por Tales, propuso ideas revolucionarias para una época en la que, aparentemente, nadie había pensado en filosofía ni ciencia como luego la conocieron sus sucesores.

Ideas revolucionarias como que el río Nilo fluía por causa del viento y no la acción de un dios o que los terremotos ocurrían porque la tierra flotaba en el agua como un barco y se movía cuando ésta última estaba inquieta. Por elemental (e impreciso para los estándares de hoy) que suene, la escuela milesia introdujo un concepto que sería desarrollado hasta sus últimas consecuencias por pensadores posteriores: el mundo natural tiene explicaciones físicas descifrables a través de la razón.

Por el simple hecho de preguntarse "¿qué es la materia?" la escuela milesia estaba dando los primeros pasos que alejarían al ser humano del mito y la superstición y lo acercarían a la física moderna. La manera en la que estos pensadores abordaron problemas como la materia, la transformación, la nada, las matemáticas, la percepción, la verdad y el universo fue haciéndose cada vez más popular por el territorio helénico y pronto más personas estarían interesadas en estilos de vida que se desprendiesen de esos hábitos intelectuales.

Posiblemente uno de los filósofos presocráticos más famosos hoy en día es Pitágoras de Samos, quien fundó una escuela de pensamiento luego de sus viajes a Egipto y Mesopotamia. Pitágoras veía a la geometría como parte de una filosofía de la purificación moral y descifrado de la naturaleza a través del intelecto. Para los pitagóricos, las formas de las matemáticas, las armonías en la música y los movimientos de los astros estaban interconectados. Su descubrimiento de que las armonías musicales eran matematizables fue interpretado en un contexto espiritual, por lo que, para ellos, las matemáticas eran una ventana hacia lo perfecto y divino.

Pitágoras de Samos

Aunque los pitagóricos compartían su conocimiento con otros, éstos estaban más interesados en la idea filosófica de que su modelo matemático ilustraba la perfección del universo, que en la idea de ensamblar un sistema matemático detallado y completo. Por eso nunca se tomaron el trabajo de documentar clara y abiertamente sus enseñanzas.

Sin embargo alrededor del año 306 a.C., Ptolomeo I aseguró su influencia en Alejandría y fomentó el flujo de científicos, artistas y técnicos de todas partes del mundo helénico. En este contexto existió Euclides de Alejandría, un académico que recopiló todo el conocimiento geométrico del Mundo Antiguo, transcribiendo los descubrimientos de los pitagóricos, expandiéndolos y agregando sus propias explicaciones y demostraciones para crear una síntesis que tituló "Los Elementos". Aunque por su aporte se le considera el padre de la geometría, más que inventar un sistema completamente nuevo,  recopiló exhaustivamente los trabajos de matemáticos anteriores como Tales, Pitágoras, Demócrito, Hipócrates, Arquitas, entre otros.

Euclides de Alejandría

No obstante ello no implica que el mismo Euclides no hiciera sus propios aportes al compilado. Recopilar el conocimiento fue solo la primera parte del trabajo, porque la manera en la que optó por organizarlo y exponerlo dio origen a lo que hoy se conoce como “el método axiomático”.

El libro empieza con una serie de definiciones y postulados y demuestra cómo a partir de ellos se desprende toda una representación abstracta de las formas a la que llamamos "geometría". Ninguna demostración en el libro requiere de conocimiento adicional al que proporcionan las premisas y definiciones iniciales, por lo que éste presenta un sistema válido con coherencia interna. Por ejemplo ofrece definiciones simples como "punto es lo que no tiene partes" o "línea es la longitud sin anchura" y en base a ellas presentó cinco postulados de los que se desprendió todo el conocimiento geométrico de la época.

Fragmento de Los Elementos encontrado con los Papiros de Oxirrinco.

Sin embargo, algunas de las personas que estudiaron este trabajo encontraban ciertas dificultades al revisar más a fondo el Postulado 5. En general los postulados enuncian ideas simples como “es posible trazar una línea recta desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera” o “todos los ángulos rectos son iguales”, pero el quinto postulado se enuncia de la siguiente manera:

“Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma del mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que estén los ángulos menores que dos rectos”.

Aquello que, básicamente, se desprende de este postulado es la definición de lo que llamamos "líneas paralelas". La definición es lógica, pero mientras más riguroso fuese uno tratando de demostrar en la práctica este postulado, más dificultades para aceptarlo surgían.  Kline (1990) expone al respecto que “Euclides indudablemente sabía que tal axioma (el de las líneas paralelas) declara explícita o implícitamente lo que debe suceder en los confines infinitos del espacio y que cualquier declaración sobre lo que debe ser cierto en el espacio infinito es físicamente dudosa porque las experiencias del hombre son limitadas”.

Y así, más o menos, empezó uno de los acertijos más antiguos y difíciles que la especie humana haya intentado descifrar. Como veremos, los casi dos milenios de intentos de resolver lo que en este texto se define como “el problema del quinto postulado euclidiano” (o del Postulado 5, para abreviar) fueron, lenta y gradualmente, develando más de lo que cualquier mente humana hubiese imaginado por sí sola.

Cuando cayó el Imperio Romano de Occidente, gran parte de su conocimiento, su filosofía, sus matemáticas y su ingeniería desaparecieron de Europa, incluyendo “Los Elementos” de Euclides. No obstante, parte de este conocimiento logró sobrevivir en las bibliotecas del Imperio Romano de Oriente y fue posteriormente estudiado y complementado por pensadores árabes.

Durante la llamada Edad de Oro del Islam (VIII d.C. – XIII) los califas de Abbasid enviaron académicos y comerciantes a Constantinopla a obtener libros y traducir cuanto conocimiento pudiesen. En este periodo académicos, ingenieros y comerciantes del mundo islámico estudiaron y expandieron lo sabido en agricultura, economía, navegación y, desde luego, matemáticas.

Uno de los libros traídos de Constantinopla fue precisamente “Los Elementos” y tuvo tal impacto entre académicos que sirvió de base para la matemática del mundo islámico, reconocida por expandir el modelo euclidiano introduciendo, por ejemplo, los números irracionales (inconcebibles para un pitagórico en busca de un universo perfecto) y el álgebra.

Así, generaciones de matemáticos islámicos trataron de perfeccionar el modelo euclidiano y eliminar o corregir el Postulado 5 y, aunque no tuvieron éxito, en su intento introdujeron ideas que serían retomadas por pensadores occidentales.

Teorema de Pitágoras ilustrado en una traducción árabe de Los Elementos.

El matemático persa Al-Juarismi (780 -850 aprox.), considerado el creador del álgebra e introductor del sistema de numeración hindú (injustamente denominado arábigo) al mundo occidental, elaboró sobre los postulados euclidianos para idear métodos prácticos que permitiesen resolver problemas de la sociedad de aquel entonces, como herencias, particiones, juicios, comercio, medición de tierras, excavación de canales, construcción, etc. Incluso él entendió que, en la práctica, había algo extraño con el Postulado 5 y creyó haber llegado a una solución que acabó siendo inválida por valerse de variables como “movimiento” o “transformación” en un modelo geométrico que solo representa a la realidad de forma estática. Pero fue un buen intento para la época.

Otros pensadores árabes abordaron el problema dejando de intentar de confirmar directamente el Postulado 5 y, en su lugar, lo analizaron de la siguiente manera: Si el postulado 5 fuese falso, entonces se desprenderían las posibilidades de que las líneas paralelas se curven hacia adentro y se intersecten o de que se curven hacia afuera y se alejen. Entonces razonaron que para confirmar el Postulado 5 solo había que refutar dichas alternativas. Aunque no pudieron resolver el problema, más adelante veremos lo relativamente cerca que estuvieron a encontrar una solución.

El Postulado 5 no dejaba de inquietar a quienes lo analizaran. Era lógico, pero insatisfactorio y tan solo ponerlo en palabras era difícil.

No fue hasta el siglo XII que las ideas de Euclides y el problema del Postulado 5 regresarían a Europa. Durante las Cruzadas, los saqueos a los pueblos musulmanes recolectaban botines que algunas veces incluían libros. Esto último era la lotería para los académicos e intelectuales europeos de la época que aprovechaban la coyuntura para estudiar la literatura de la zona. Un viajero inglés llamado Adelardo de Bath (1080-1152) que pasó parte de su vida viajando por los territorios y Estados cruzados en el Medio Oriente, recolectó los libros que pudo y los llevó consigo de regreso a Inglaterra, en donde se dedicó a la tarea de traducirlos. Uno de esos libros, claro está, fue “Los Elementos” y su traducción permitió la reintroducción del pensamiento matemático a la sociedad occidental.

Algunos siglos más adelante, durante el Renacimiento, la imprenta permitió la difusión de conocimiento matemático, que consistía principalmente en explicaciones del modelo euclidiano por parte de estudiosos para la población general. Aquello significó una revolución técnica, ya que ahora había más personas capacitadas para realizar trabajos más complejos que requieren de conocimientos matemáticos, como construir embarcaciones, casas u obras de arte más realistas.

Uno de los beneficiados de esta reintroducción y difusión del conocimiento filosófico, matemático y técnico de la antigüedad al sistema de educación europeo fue René Descartes (1596-1650), quien estableció un modelo de razonamiento deductivo que sería precursor del método científico y desarrolló un sistema de coordenadas (que llamamos “cartesianas”) que permitió traducir problemas de álgebra a problemas geométricos y viceversa. Aquel salto implicó una revolución en la forma de pensar que integraba y expandía las maneras en las que una mente podía representar el espacio físico. Esta herramienta capaz de versatilizar el alcance del modelo euclidiano sería la llave de una puerta que, más adelante, abriría Isaac Newton (1643-1727).

Newton quería escribir un libro acerca de esta arbitrariedad del mundo físico que había descifrado llamada "gravedad", pero para hablar concretamente del mundo físico en movimiento iba a necesitar una manera de representar numéricamente figuras con líneas curvas.

Newton leyendo "Discurso del Método".

Entonces Newton utilizó el modelo euclidiano para representar el área de una curva mediante la cantidad de rectángulos que cabían bordeándola. Ello supuso el problema de tener que eliminar el área de las partes del rectángulo que cruzaban la curva para conocer el área debajo de ésta. Para ello introdujo el concepto de integración: propuso imaginar reemplazar infinitamente los rectángulos por otros más pequeños hasta que el área que sobresale de la curva sea tan pequeña que nos brinde una aproximación suficiente de su área.

Lo relevante para este texto es que al desarrollar una herramienta capaz de representar figuras curvas introduciendo conceptos como lo infinitesimal y al traducirlo al álgebra con el sistema cartesiano, Newton creó un modelo capaz de mapear el mundo físico en movimiento. Con su libro Philosophiæ naturalis principia mathematica inició una revolución en el pensamiento: la matematización del espacio físico. La física clásica había nacido.

Sin embargo el problema del Postulado 5 seguía sin resolverse y hubo quienes siguieron preguntándose lo que aquello significaba. Era como si la realidad no se ajustase a la lógica, por más sólida que esta fuese.

Hasta aquel entonces los matemáticos habían intentado deducir o confirmar el Postulado 5, topándose una y otra vez con la misma pared inderrumbable. Incluso había padres matemáticos advirtiendo a sus hijos de la misma profesión sobre éste. Por ejemplo el matemático Farkas Bolyai le escribió a su hijo:

"Por amor de Dios te lo ruego, olvídalo. Témelo como a las pasiones sensuales, porque lo mismo que ellas, puede llegar a absorber todo tu tiempo y privarte de tu salud, de la paz de espíritu y de la felicidad en la vida".

Y su hijo, János Bolyai (1802-1860), parece haber hecho caso. Tanto él como el matemático Nikolai Lobachevsky (1792-1856) fueron dos de los primeros en atreverse a prescindir del nefasto Postulado 5 y dejar de tratar de confirmarlo.

Si el Postulado 5 no correspondía con la realidad, entonces sería cuestión de representar y explorar sus alternativas: líneas que se curvan. Aquellas que, irónicamente, los antiguos matemáticos islámicos visualizaron pero trataron de refutar para confirmar al postulado en cuestión. La pregunta es, ¿por qué dos líneas aparentemente rectas y paralelas terminarían curvándose de todas formas?

Porque el espacio mismo en el que existen es curvo, no plano.

En la geometría hiperbólica dos líneas paralelas se intersectan por definición y, por contraintuitivo que suene, en la práctica funciona al momento de hacer predicciones y cálculos.

Por más plano que nuestra mente represente el espacio, éste realmente es curvo, porque nos encontramos sobre una superficie esférica. Ese detalle hace toda la diferencia: cualquier línea que se nos presente perceptualmente como recta, independientemente de cómo la veamos, trazada en una superficie esférica siempre será curva. Por ello para corregir esa distorsión perceptual, es necesario aceptar que lo que realmente sería una línea recta en la realidad externa luce en nuestra mente como una línea curva y viceversa.

Conforme los modelos físico-matemáticos que medían y representaban el universo aumentaban su complejidad, más se iba haciendo evidente que la realidad objetivamente medible es distinta de la realidad percibida y construida por los sentidos. La percepción humana se volvió un estorbo al momento de querer aumentar la precisión y descifrar los aspectos más fundamentales del universo en sus diferentes escalas.

Para este punto histórico seguir desarrollando modelos matemáticos implicó abandonar las propias intuiciones y priorizar los datos sobre las percepciones. Por ejemplo en un plano euclidiano se cumple que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo siempre es de 180 grados, pero en una superficie hiperbólica dicha suma da un valor distinto.

Esta nueva manera de entender la geometría mostró posibilidades de fórmulas y teoremas a desarrollar. A partir de las propuestas de Bolyai y Lobachevsky, un matemático de nombre Bernard Riemann entendió que otras alternativas al modelo euclidiano eran posibles y elaboró un sistema que facilitaba sus representaciones.

Si un modelo matemático que simboliza el espacio físico es válido por su coherencia interna, pero a su vez no coincide con la realidad que se nos presenta, ¿qué universo está representando entonces? ¿Cuántos otros universos posibles pueden ser representados matemáticamente? y más importante aún: ¿Cuál de esas representaciones posibles corresponde con el universo en el que existimos?

La manera en la que nuestra percepción de la realidad es puesta en marcha por nuestro cerebro (más sobre eso aquí) sirve para la supervivencia en la Tierra, no para editar a voluntad el Cosmos. Como especie, hoy tenemos sistemas cerebrales para representar el concepto "automóvil", porque nuestros ancestros necesitaron del concepto de "león". Les servía más generalizar patrones bruscos y tangibles con repercusiones directas que entender al león, por ejemplo, desde sus propiedades moleculares.

Aspectos relevantes de un león para un humano arcaico.

Aspectos irrelevantes de un león para un humano arcaico.

Sin embargo, el hábitat urbano que hemos construido para nosotros aún es, históricamente, muy reciente para que nuestra biología se haya modificado por completo. Por ejemplo, aún reaccionamos a problemas abstractos como el desempleo o la inflación segregando cortisol y adrenalina a la sangre, mecanismos que sirven para combatir amenazas físicas e inmediatas como el león. La percepción humana está restringida a lo que ha necesitado representar para seguir existiendo. Ésta no nos permite detectar, por ejemplo, amebas, ondas gravitacionales o movimientos subatómicos.

El león no es directamente lo que uno percibe, sino luz, presión, sonido. Una sensación es iniciada dentro de tu propio cerebro por la secuencia en la que se activan los receptores sensoriales, no por la onda misma. Hay un proceso interno adicional al ordenar esas señales en una “película” o experiencia de primera persona. Lo que sea que haya realmente ahí afuera no depende de las formas que necesitamos percibir para funcionar.

Esta distinción entre la realidad objetiva y la realidad percibida ha acompañado la reflexión humana desde los tiempos de Pitágoras y Euclides. Por ejemplo Aristóteles intuía que hay un mundo "exterior" detrás del mundo de las apariencias que no requiere de nuestra percepción para existir. Tal distinción era tan importante para el matemático y filósofo Charles Sanders Peirce (1839-1914), que acuñó el término “fanerón” para referirse a “la totalidad colectiva de todo aquello que de alguna manera o en algún sentido se presenta a la mente, con total independencia del hecho de que corresponda o no a algo real”. En términos experienciales, fuera del fanerón solo hay oscuridad.

¿Pero saben a qué le dicen “una luz en la oscuridad”?

En 1887 los científicos Albert Michelson (1852-1931) y Edward Morley (1838-1923) construyeron un aparato que, en aras de la simplicidad, les permitió descubrir que la luz indiscutiblemente viaja en el vacío sin necesidad de una substancia hipotética. El éter era una asunción innecesaria a la que, además, hubo que agregarle una serie de propiedades ad hoc como que debía ser rígido pero, a la vez actuar como fluido al mismo tiempo que no tenía masa, entre otros distintivos. Un modelo que representa un universo diferente del nuestro, pero relativamente parecido, va a necesitar de una serie de “parches” epistemológicos para ajustar sus impresiciones a nuestra realidad.

Lo relevante del experimento de Michelson y Morley para este texto es que cuando se descartó el éter como la solución hipotética al problema físico de las propiedades de luz, se creó un vacío en el modelo científico que inspiró distintas iniciativas para resolverlo.

Entre los que abordaron este problema se encontraba Albert Einstein, que, inspirado en los experimentos de Michelson y Morley, presentó una serie de trabajos entre los que se encontraba su propuesta de la "Relatividad Especial". Aunque este modelo estaba cimentado en trabajos previos, éste no expandía a Euclides ni le agregaba alguna variable para "parchar" las inconsistencias, sino que presentó un paradigma completamente nuevo. Algunas de las conclusiones que se desprendían de la propuesta eran que la velocidad de la luz en el vacío es constante, que ésta no es afectada por una sustancia de referencia fija y que las variables de "espacio" y "tiempo" deben ser entendidas como una sola y no dos separadas.

Aunque el modelo de la "Relatividad Especial" solo lidiaba con la física en el caso (léase) especial en el que no hubiese distorsión gravitacional del espacio-tiempo, en 1915 Einstein propuso un modelo más complejo que sí podía incluir esa variable al que llamo "Relatividad General". Ésta teoría es capaz de simbolizar la realidad incluso cuando estrellas o agujeros negros doblan el espacio-tiempo (algo imposible de percibir con los sentidos y representaciones humanas).

Y son precisamente esas curvaturas del espacio-tiempo y la manera en la que éste es estirado y moldeado lo que hoy nos invita a una nueva reflexión sobre el Postulado 5.

La geometría euclidiana es un modelo de la realidad basado en premisas tomadas de la percepción humana. Un modelo en el que el espacio es perfectamente plano y estático en lugar de curvo y moldeable.

Aceptar la Relatividad General es, también, aceptar que no vivimos en un universo euclidiano en el que las líneas rectas existen fuera de nuestra percepción. El modelo de Euclides, aunque presenta coherencia interna, no describe nuestro universo, sino otro posible muy parecido. Lo suficientemente parecido como para que en pequeña escala sus cálculos y representaciones permitan concretar operaciones relativamente simples.

El modelo del espacio del que se desprendió la geometría, el cálculo, el álgebra, las coordenadas cartesianas y la física de Newton resultó no corresponder con las propiedades aparentemente reales del universo en el que vivimos. Sin embargo fue una herramienta cognitiva que permitió nuevas formas de representar la realidad y razonar sobre ella. La solución al problema del Postulado 5 o la razón por la que pese a ser válido no se ajusta a la naturaleza es, entonces, que describe más a la realidad ajustada por la percepción humana o fanerón que a la realidad externa a la mente "tal y como es".

Cuando analizamos objetos a escalas planetarias o imperceptiblemente pequeñas se hace más visible que la geometría euclidiana ofrece solo una aproximación insuficiente para realizar predicciones tan precisas como las de la Relatividad General. Ello no supone que la Relatividad General es la cúspide de la matematización del universo, sino que es más efectiva que el modelo euclidiano para describir, explicar, predecir y controlar nuestro universo.

En la actualidad, por cierto, tenemos al menos dos modelos del espacio físico en vigencia: uno que explica la realidad a nivel macroscópico (la Relatividad General) y otro que la explica a nivel subatómico (la Mecánica Cuántica). Ambos guardan coherencia interna y son efectivos en predecir determinados eventos, pero ninguno es la continuación del otro. Las fórmulas de la Relatividad General no describen ni predicen patrones establecidos en la Mecánica Cuántica ni viceversa. El modelo unificado o “Teoría del Todo” que ligue todos los valores arbitrarios de nuestro universo (y no otro) podría, en principio, ser una teoría microscópica de la gravedad que pueda extenderse de manera continua hasta escalas cósmicas. ¿La teoría de cuerdas, tal vez?

Finalmente quizá toda esta información podría dejarle una inquietud filosófica a los lectores más sensibles: ¿Alguna vez descifraremos la Realidad Objetiva o estamos varados en un plano en el que nuestra máxima aspiración es estar parcialmente en lo cierto mediante representaciones incompletas de "lo externo"? Respecto a preguntas de esa índole, Martin Gardner (1914-2010) concluyó de manera estoica:

“Si me pides que te diga algo sobre la naturaleza de lo que yace más allá del fanerón, mi respuesta es ‘¿cómo podría saberlo?’ No me angustian los misterios del cosmos. Puedo entender lo que hay detrás de esas preguntas tanto como mi gato entiende el sonido de mis dedos tecleando este párrafo”.

Referencias:

Boyer, C. (2010). Historia de la matemática (10ª edición). Alianza Editorial: Madrid.

Gardner, M. (1985). The whys of a philosophical scrivener.  Oxford University Press: Oxford.

Kline, M. (1990). Mathematical thought from ancient to moden times: Volume 1. Oxford University Press: Oxford.

Meserve, B. & Sobel, M. (2007). Introducción a las matemáticas. Reverté Ediciones: México.

Peirce, C. (1904). Phanerology. MS [R] 338.

Stanley, T. (2010) [1687]. Pythagoras: His Life and Teachings, a Compendium of classical sources. Ibis Press: Florida.

Turner, H. (1997). Science in Medieval Islam. University of Texas Press: Texas.